Лекція 8. Елементи операційного числення § 1. Перетворення Лапласа При розв’язуванні багатьох прикладних задач часто зручно застосову-вати інтегральні перетворення, теорія яких будується на основі теорії функ-цій комплексної змінної. Означення 1. Оригіналом називають комплекснозначну функцію
дійс-ної змінної
, якщо: 1)
для
; 2) на кожному відрізку півосі
функція
є неперервною, крім, можливо, скінченої кількості точок розриву першого роду (
– кусково-гладка функція); 3) існують такі дійсні числа
, що для всіх
виконується нерівність
. (1.1) Якщо нерівність (1.1) виконується для числа
, то вона буде викону-ватися і для всіх
. Тому бажано знати точну нижню грань всіх чисел
, для яких виконується нерівність (1.1). Ця нижня грань
називається індексом або показником росту функції
(при
). Приклад 1. Чи буде оригіналом функція
? ▪ Очевидно, що функція
задовольняє другу умову. Третя умова також виконується, оскільки
. Але перша умова означен-ня не виконується, тому функція
не є оригіналом. ▪ Приклад 2. Чи буде оригіналом функція Хевісайда
? ▪ Функція задовольняє першу і другу умови. Для

третя умова також виконується. Отже, функція Хевісайда є оригіналом. ▪ Означення 2. Нехай
– комплекснозначна функція дійсної змінної
, яка визначена для
, а
– комплексна змінна з деякої області
площини комплексної змінної
. Невластивий інтеграл
(1.2) називають інтегралом Лапаласа функції
, а функцію
–зображенням оригінала
, або перетворенням Лапласа функ-ції
. Якщо
– функція-оригінал з показником росту
, то півплощина
на площині комплексної змінної
називається півплощиною збіжності інтеграла (1.2). Теорема. Якщо
– функція-оригінал з показником росту
, то у півпло-щині збіжності інтеграл (1.2) збігається абсолютно для всіх
, а у півплощині
збігається абсолютно і рівномірно. Доведення. ► Нехай
– довільна точка у півплощині збіжності, тобто
. З означення показника росту маємо, що
. Тоді
. З отриманої оцінки за ознакою порівняння збіжності невластивих інтегралів випливає абсолютна збіжність інтеграла Лапласа (1.2) у півплощині
. Якщо
, то для всіх

і за властивостями невластивих інтегралів, що залежать від параметра, інтеграл (1.2) є рівномірно збіжним за параметром
у півплощині
. ◄ Приклад 3. Знайти зображення Лапласа функції Хевісайда
▪ Обчислимо
. ▪ Відповідність між оригіналом і зображенням записують у вигляді
→
або


. Наприклад,


. Зауваження. Нехай функція
задовольняє умови 2, 3 визначення 1. Тоді функція
є оригіналом. Зазвичай множник
опускають. Наприклад, замість
пишуть
, а замість


записують


. § 2. Властивості перетворення Лапласа Нехай
– функція-оригінал з показником росту
, а
– її зображення. Якщо
, то
, і навпаки. Функціями-оригіналами є такі функції: а)
з показником росту
; б)
з показником росту
; в)
(
– дійсне або комплексне число), показник росту якої дорівнює
, якщо
, і нулю, якщо
; г)
з показником росту
; д)
, де
– дійсне чи комплексне число, з показником росту
. Функція
на інтервалі
є неперервним оригіналом з показником росту
. Властивість лінійності перетворення Лапласа. Якщо


і


з показниками росту
відповід-но, то у півплощині збіжності
для
і
має місце співвідношення


. Властивість аналітичності. Теорема. Якщо
– функція-оригінал з показником росту
, то у всій півплощині збіжності
її перетворення Лапласа (1.2) є аналітичною функцією. Доведення. ► За теоремою з § 1 у будь-якій півплощині
інтег-рал (1.2) є рівномірно збіжним. Тому функція
є неперервною у будь-якій точці
, де
. Нехай
– простий замкнений контур, що належить околу
точки
, де окіл
належить півплощині
. Тоді в силу рівномірної збіжності і теореми Коші
. За теоремою Морера маємо, що
– аналітична функція в околі
довільної точки
півплощини збіжності. ◄ Поведінка зображення на безмежності. Якщо
так, що
, то
. (2.1) Сп...